Operaciones entre Conjuntos

Unión de conjuntos.

Es la unión de los elementos de dos o mas conjuntos, formando un nuevo conjunto cuyos elementos son los elementos de los conjuntos originales, pero, cuando un elemento se repite, dicho elemento entrará a formar parte del conjunto unión una sola vez; en esto se diferencia la unión de conjuntos del concepto clásico de la suma, en la que los elementos comunes se consideran tantas veces como estén en el total de los conjuntos.

Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {d, f g, h} y B = {b, c, d, f}

La unión de dichos conjuntos será: AUB= {d, f, g, h, b, c}

, mientras que según el concepto clásico de la suma hubiésemos puesto:

A + B = d + f + g + h + b + c + d + f.

Propiedades de la unión de conjuntos:

1. Propiedad idempotente. Puede exponerse mediante la siguiente expresión, que por ser tan lógica, no necesita más explicación:

·         VA => A = A

2. Propiedad conmutativa. Es también evidente:

·         AUB = BUA

3. Propiedad asociativa. Dados tres conjuntos A, B y C se verifica que:

·         (AUB)UC = AU(BUC) = AUBUC

Se puede demostrar mediante un ejemplo sencillo. Sean: A = {m, n, p}, B ={j, k, l}, C = {r, p, l}.

El nuevo conjunto y éste unido con el conjunto C, dará como resultado el conjunto: (AUB)UC = {m, n, p,j,k,l,r}

ahora bien, si hacemos antes la unión de B con C tendremos: BUC = {j,k,l,r,p} que unido con el conjunto A nos da: AU(BUC) = {m, n, p, j,k,l,r,p}

Luego, los conjuntos (AUB)UC y AU(BUC) son iguales por estar formados por los mismos elementos.

Intersección de conjuntos.

Se llama intersección de dos conjuntos A y B, y se representa por AnB, al nuevo conjunto que tiene por elementos todos los elementos comunes a A y a B. Es lógico que la intersección de dos conjuntos disjuntos sea el conjunto vacío (no tiene elementos).

Ejemplo: Dados los conjuntos A = { d, f g, h } y B = { b, c, d, f }, su intersección será: AnB = {d,f}

La representación gráfica de dicha intersección esta representada en la figura, en la cual la intersección es la parte rayada. 

 Propiedades de la intersección. Son las mismas que las de la unión; por tanto, las expresaremos de la forma siguiente: 

1. Propiedad idempotente: VA => AnA = A

2. Propiedad conmutativa: AnB = BnA

  Propiedad asociativa: (AnB)nC = An(BnC)

Propiedades comunes a la unión y a la intersección.

  Ley de absorción. Tiene dos formas distintas que se expresan: An(AUB) = A y Au(BnC)

Expongamos un ejemplo como comprobación:

A = {1, 2, 3 , 4} y B = {1, 2, 3, 6}.

Hagamos primero la unión de A con B: AUB = {1,2,3,4,6}

y ahora, la intersección del mismo con el conjunto

A: An(AUB) = {1, 2, 3 , 4} = A

Análogamente:

AnB = {1, 2, 3}, AU(AnB) = {1, 2, 3 , 4} = A B) = { 1,2, 3, 4 } = A.

2. Ley distributiva. Tiene también dos formas de expresión: De la unión respecto de la intersección: (AnC)UC = (AUC)n(BUC)

De la intersección respecto de la unión: (AUB)nC = (AnC)U(BnC)

Estas dos propiedades comunes a las dos operaciones nos indican que ambas tienen la misma fuerza, existe entre ellas una completa analogía.

Diferencia de conjuntos y complementario de un conjunto con respecto a otro. 
Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia de A para B, y se representa por A - B al conjunto de todos los elementos de A que no son elementos de B. Ejemplo: Si A = {a, b, j c, d, e} y B={a, b, m, n, p}, A - B ={c, d, e.}. Dicho ejemplo está representado en la figura (A) en la que se comprueba que esta diferencia no goza de la propiedad conmutativa.

Si A es un subconjunto de B, se llama complementario de A y se representa por:

[A, al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A.]

Como vemos, se trata de dos conceptos similares, pero que no hay que confundir.

Producto cartesiano de dos conjuntos

Se llama conjunto producto cartesiano de dos conjuntos A y B, y se representa por A x B, al conjunto formado por todos los pares ordenados de elementos (a, b), tales que a A y b B.

Al decir «pares ordenados», estamos definiendo un nuevo concepto nuevo hasta ahora, y que al ser ordenados, serán diferentes los pares: (a, b) y (b, a), lo cual nos indica a su vez que dicho producto cartesiano no goza de la propiedad conmutativa. En efecto, al considerar, por ejemplo, los conjuntos: A = {a, b, c, d, e} y B = {m, n} podemos hallar el producto cartesiano de A x B, resultando: A x B = {(a, m), (a, n), (b, m), (b, n), (c, m), (c, n), (e, m), (e, n).}.

Sin embargo, si hallamos el producto cartesiano de B x A:

B x A = {(m, a), (m, b), (m, c), (m, d), (m, e), (n, a), (n, b), (n, c), (n, d), (n, e).}. observándose que en ellos los pares son diferentes, pues aunque están formados por los mismos elementos, están en distinto orden.

Propiedades del producto cartesiano.

1. El producto cartesiano de un conjunto. Cualquiera por el conjunto vacío da como resultado el conjunto vacío. Ax{ } = { }

es evidente, ya que el conjunto vacío carece de elementos, luego no se pueden formar pares con los del otro conjunto A.

2. Propiedad distributiva respecto de la unión. Se expresa: A(BUC) = (AxB)U(AxC)

  Propiedad distributiva respecto de la intersección: Ax(BnC) = ((AxB)n(AxC))

Aquí tenemos un gráfico con varias operaciones